miércoles, 15 de enero de 2014

MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS Y ABSOLUTOS

Máximo absoluto
Una función tiene su máximo absoluto en el x = a si la ordenada es mayor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.




a = 0
Mínimo absoluto
Una función tiene su mínimo absoluto en el x = b si la ordenada es menor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.


b = 0
Máximo y mínimo relativo
Una función f tiene un máximo relativo en el punto a, si f(a) es mayor o igual que los puntos próximos al punto a.
Una función f tiene un mínimo relativo en el punto b, si f(b) es menor o igual que los puntos próximos al punto b.

a = 3.08     b = -3.08


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P. I

Punto de inflexión

.


Cálculo de los puntos de inflexión en funciones reales derivables de variable real

En las funciones derivables reales de una variable real, para hallar estos puntos de inflexión, basta con igualar la segunda derivada de la función a cero y despejar. Los puntos obtenidos deberán ser sustituidos en la derivada tercera o sucesivas hasta que nos dé un valor diferente de cero. Cuando esto suceda, si la derivada para la que es distinto de cero es impar, se trata de un punto de inflexión; pero, si se trata de derivada par, no lo es. Más concretamente:
  1. Se halla la primera derivada de  f \rightarrow f'(x)
  2. Se halla la segunda derivada de  f \rightarrow f''(x)
  3. Se halla la tercera derivada de  f \rightarrow f'''(x)
  4. Se iguala la segunda derivada a 0: f\,''(x) = 0
  5. Se despeja la variable independiente y se obtienen todos los valores posibles de la misma:  x = \big\{x_1, x_2,..., x_n / f''(x_i)= 0 \quad \forall i = 1,2,...,n \big\} .
  6. Se halla la imagen de cada x_i\,sustituyendo la variable dependiente en la función.
  7. Ahora, en la tercera derivada, se sustituye cada x_i\,:
    1. Si  f'''\,(x_i) \ne 0 , se tiene un punto de inflexión en  P\, (x_i, f(x_i)).
    2. Si  f'''\,(x_i) = 0, debemos sustituir x_i\, en las sucesivas derivadas hasta sea distinto de cero. Cuando se halle la derivada para la que x_i\, no sea nulo, hay que ver qué derivada es:
      1. Si la derivada es impar, se trata de un punto de inflexión.
      2. Si la derivada es par, no se trata de un punto de inflexión.
La ecuación f(x)=x^4+2x no tiene puntos de inflexión, porque la derivada segunda es siempre mayor o igual a cero, por tanto no hay cambio de concavidad dado que es no negativa en todo su dominio. Sin embargo en x_0=0 la derivada segunda se anula y la primera derivada no nula en x_0=0 es la derivada cuarta, que es par. Obsérvese que  f  tampoco presenta un extremo en x_0.


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MAXIMOS Y/O MINIMOS







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